Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau.
LG a
Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của CD, do BC = BD = a nên BI⊥CD.
Mặt khác mp(BCD)⊥mp(ACD) nên BI⊥mp(ACD).
Xét các tam giác vuông AIB và DIB có cạnh góc vuông BI chung, BA = BD, từ đó AI = ID.
Vậy ACD là tam giác vuông tại A.
LG b
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Từ chứng minh trên, ta thấy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc BI, do đó, bán kính mặt cầu phải tìm chính là bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Dễ thấy CB2=BI.BB’=2R.BI, tức là R=a22BI.
Mặt khác
BI2=BC2−CD24=a2−a2+b24=3a2−b24⇒BI=12√3a2−b2,0<b<a√3.
Như vậy R=a2√3a2−b2
Do đó diện tích mặt cầu phải tìm bằng 4πa43a2−b2 với 0<b<a√3.
