Cho hàm số
y=mx−1x−m,m≠±1
Gọi (Hm) là đồ thị của hàm số đã cho.
LG a
Chứng minh rằng với mọi m≠±1, đường cong (Hm) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị (Hm) của hàm số đã cho đi qua điểm (x0,y0) khi và chỉ khi
y0=mx0−1x0−m
Với mọi m≠±1 , đường cong (Hm) luôn đi qua điểm (x0,y0) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi m≠±1.
Với mọi m≠±1, phương trình trên tương đương với phương trình
y0(x0−m)=mx0−1⇔(x0+y0)m=x0y0+1
Phương trình nghiệm đúng với mọi m≠±1 khi và chỉ khi
{x0+y0=0x0y0+1=0
⇔{y0=−x0−x20+1=0
Hệ phương trình tương đương với mọi m≠±1, đường cong (Hm) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1).
LG b
Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của (Hm). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Với m≠±1 thì đồ thị hàm số có các đường tiệm cận:
+) TCĐ: x=m
+) TCN: y=m
Giao điểm hai đường tiệm cận: M(m;m).
Dễ thấy yM=xM nên M luôn nằm trên đường thẳng y=x.
Vậy tập hợp các điểm M khi m lấy các giá trị trong tập hợp R∖{−1;1} là đường thẳng y = x bỏ đi hai điểm (-1;-1) và (1;1).
