Cho hìnhchữ nhật ABCD với AB = a, BC = 2a và đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (ABCD), Δ song song với AD và cách AD một khoảng bằng x, Δ không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD.
LG 1
Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh Δ.
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu O, O’ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AB, CD với Δ.
Gọi V là thể tích cần tìm, V2 là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OBCO’ quanh Δ ( với OA < OB) hoặc hình tạo nên khi quay hình chữ nhật OADO’ quanh Δ (với OA > OB);
V1 là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OADO’ quanh Δ ( với OA < OB) hoặc hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OBCO’ quanh Δ ( với OA > OB). Khi đó V = V2 - V1.
Từ đó, với OA < OB thì
V=πOB2.BC−πOA2.AD
=2aπ[(x+a)2−x2]
=2a2π(2x+a)
và với OA > OB thì
V=πOA2.AD−πOB2.BC
=2aπ[x2−(x−a)2]
=2a2π(2x−a)
LG 2
Xác định x để thể tích nói trên gấp ba lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh AB.
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối cầu bán kính bằng AB là 43πa3.
Theo giả thiết ta có
4πa3=2πa2(2x+a) (với OA < OB)
Hoặc 4πa3=2πa2(2x−a) ( với OA > OB).
Từ đó x=a2 ( với OA < OB) hoặc x=3a2 ( với OA > OB).
