LG a
Tìm các giá trị m sao cho hàm số
y=−2x2+(m+2)x−3m+1x−1
Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Lời giải chi tiết:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng
y=−2x+m+1−2mx−1
Khi đó: y′=−2+2m−1(x−1)2
+) Nếu 2m−1≤0 hay m≤12 thì y′<0 với mọi x≠1.
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1) và (1;+∞)
+) Dễ thấy nếu 2m−1>0 hay m>12 thì phương trình y′=0 có hai nghiệm x1,x2 trong đó x1<1<x2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1;1) và (1;x2).
Trong trường hợp này, các giá trị của m không thỏa mãn điều kiện đòi hỏi.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0.
Lời giải chi tiết:
Với m=0 ta được y=−2x2+2x+1x−1=−2x+1x−1
+) TXĐ: D=R∖{1}
+) Chiều biến thiên:
limx→1+y=+∞,limx→1−y=−∞ nên TCĐ: x = 1.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0 nên TCX: y = x - 1.
Ta có:
y' = - 2 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \left( { - \infty ;1} \right) và \left( {1; + \infty } \right) và không có cực trị.
BBT:
+) Đồ thị:
