Đề bài
Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B (hoành độ của điểm A và tung độ của điểm B là những số dương). Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi k bằng
(A) -1 (B) -2
(C) -3 (D) -4
Lời giải chi tiết
Chọn đáp án C.
Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) có hệ số góc \(k\) là:
\(y = k\left( {x - 1} \right) + 3\) \( \Leftrightarrow y = kx - k + 3\) (d)
Cho \(x = 0\) thì \(y = - k + 3\) nên (d) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0; - k + 3} \right)\).
Cho \(y = 0\) thì \(kx - k + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k - 3}}{k}\) nên (d) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {\frac{{k - 3}}{k};0} \right)\)
Do hoành độ của A và tung độ của B dương nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{k - 3}}{k} > 0\\ - k + 3 > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 3\\k < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k < 0\)
Diện tích \(\Delta OAB\) là:
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\) \( = \frac{1}{2}\frac{{k - 3}}{k}.\left( { - k + 3} \right)\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{ - {k^2} + 6k - 9}}{k}\) \( = \frac{1}{2}\left( { - k + 6 - \frac{9}{k}} \right)\)
Do \(k < 0\) nên \( - k > 0\).
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \( - k\) và \( - \frac{9}{k}\) ta có:
\( - k - \frac{9}{k} \ge 2\sqrt {\left( { - k} \right).\left( { - \frac{9}{k}} \right)} = 2.3 = 6\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - k - \frac{9}{k} + 6 \ge 6 + 6 = 12\\ \Rightarrow {S_{OAB}} \ge \frac{1}{2}.12 = 6\\ \Rightarrow \min {S_{OAB}} = 6\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \( - k = - \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = 9\) \( \Leftrightarrow k = - 3\) (do \(k < 0\))
Vậy \(k = - 3\).
