Đề bài
Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B (hoành độ của điểm A và tung độ của điểm B là những số dương). Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi k bằng
(A) -1 (B) -2
(C) -3 (D) -4
Lời giải chi tiết
Chọn đáp án C.
Đường thẳng đi qua M(1;3) có hệ số góc k là:
y=k(x−1)+3 ⇔y=kx−k+3 (d)
Cho x=0 thì y=−k+3 nên (d) cắt Oy tại B(0;−k+3).
Cho y=0 thì kx−k+3=0⇔x=k−3k nên (d) cắt Ox tại A(k−3k;0)
Do hoành độ của A và tung độ của B dương nên {k−3k>0−k+3>0
⇔{k<3k<0⇔k<0
Diện tích ΔOAB là:
SOAB=12OA.OB =12k−3k.(−k+3)=12.−k2+6k−9k =12(−k+6−9k)
Do k<0 nên −k>0.
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương −k và −9k ta có:
−k−9k≥2√(−k).(−9k)=2.3=6
⇒−k−9k+6≥6+6=12⇒SOAB≥12.12=6⇒min
Dấu “=” xảy ra khi - k = - \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = 9 \Leftrightarrow k = - 3 (do k < 0)
Vậy k = - 3.
