Trong không gian Oxyz cho hai điểm M1(x1;y1;z1),M2(x2;y2;z2) không nằm trên mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0.
Tìm điều kiện cần và đủ để :
LG a
Đường thẳng M1M2 cắt (α)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng M1M2 cắt (α) khi và chỉ khi →M1M2 không vuông góc với →n(A,B,C) →n là vec tơ pháp tuyến của (α), tức là :
→M1M2.→n=0⇔A(x2−x1)+B(y2−y1)+C(z2−z1)≠0
LG b
Đoạn thẳng M1M2 cắt (α)
Lời giải chi tiết:
Đoạn thẳng M1M2 cắt (α) khi và chỉ khi có một điểm I thuộc(α) và chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k<0. Gọi (x0;y0;z0) là tọa độ của điểm I, ta có :
x0=x1−kx21−k,x0=y1−ky21−k,x0=z1−kz21−k
Và Ax0+By0+Cz0+D=0.
⇒A(x1−kx21−k)+B(y1−ky21−k)+C(z1−kz21−k)+D=0
Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện
LG c
Đường thẳng M1M2 cắt (α) tại I sao cho M1 nằm giữa I và M2
Lời giải chi tiết:
M1 nằm giữa I và M2 ⇔I chia đoạn M1M2 theo tỉ số k mà 0< k <1.
Ta vẫn có điều kiện (∗), nhưng vì 0< k
0<Ax1+By1+Cz1+DAx2+By2+Cz2+D<1.
LG d
Đường thẳng M1M2 cắt (α) tại I sao cho M2 nằm giữa I và M1.
Lời giải chi tiết:
Tương tự như trên, ta có điều kiện :
0<Ax2+By2+Cz2+DAx1+By1+Cz1+D<1.
Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau:
Hai điểm M1(x1;y1;z1) và M2(x2;y2;z2) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng (α):Ax+By+Cz+D=0. khi và chỉ khi
