Xét hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R mà diện tích thiết diện qua trục hình trụ là lớn nhất. Tính :
LG 1
Thể tích V và diện tích toàn phần Stp của hình trụ.
Lời giải chi tiết:
Gọi O’ là trung điểm của trục O1O của hình trụ thì O’ là tâm mặt cầu đã cho. Kí hiệu h và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ thì diện tích thiết diện qua trục là Std=2r.h.
Mặt khác R2=O′A2=r2+h24⇒r2=R2−h24.
Từ đó Std=h√4R2−h2=√h2(4R2−h2).
Vậy Std lớn nhất khi và chỉ khi h=R√2.
Khi đó r=√R2−14.2R2=R√22=h2, tức là thiết diện qua trục là hình vuông.
V=πr2h=2πr2.r=2πr3=πR3√22.
Stp=2πr2+2πrh=3πR2.
LG 2
Thể tích hình lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ và thể tích hình lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ.
Lời giải chi tiết:
∙ Dễ thấy diện tích đáy của hình lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ là n2r2sin2πn.
Vậy thể tích hình lăng trụ đó là:
Vlăng trụ=n2r2sin2πn.2r=nr3sin2πn
=nR32√2sin2πn
∙ Xét đa giác đều n cạnh ngoại tiếp đường tròn đáy hình trụ thì độ dài cạnh của đa giác bằng 2rtanπn, từ đó diện tích đáy hình trụ là
{S_{đáy}} = n.{1 \over 2}2r.\tan {\pi \over n}.r = n{r^2}\tan {\pi \over n}.
Vậy thể tích hình lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ là
n{r^2}\tan {\pi \over n} \cdot 2r = 2n{r^3}.\tan {\pi \over n}
= {{n{R^3}} \over {\sqrt 2 }}\tan {\pi \over n}
LG 3
Diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng {R \over 2}.
Lời giải chi tiết:
Giả sử thiết diện là MN{N_1}{M_1} thì MN{N_1}{M_1} là hình chữ nhật. Gọi I là trung điểm của MN thì
OI = {R \over 2} và IM = \sqrt {{r^2} - {{{R^2}} \over 4}} = \sqrt {{{{R^2}} \over 2} - {{{R^2}} \over 4}} = {R \over 2}.
Vậy diện tích thiết diện MN{N_1}{M_1} là
MN.N{N_1} = 2IM.h = R.R\sqrt 2 = {R^2}\sqrt 2 .
