Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng
(P):x+y+z-7=0.
LG 1
Viết phương trình đường thẳng AB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng AB đi qua A(3;3;1), có vectơ chỉ phương →AB=(−3;−1;0) nên có phương trình :
{x=3−3ty=3−tz=1.
LG 2
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).
Lời giải chi tiết:
Ta nhận thấy A ∈ mp(P) nên hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P) là đường thẳng AH, trong đó H là hình chiếu của điểm B trên mp(P).
Đường thẳng BH qua B(0;2;1) và vuông góc với mp(P) nên có phương trình
{x=ty=2+tz=1+t.
Do đó toa độ (x;y;z) của điểm H thoả mãn hệ: {x=ty=2+tz=1+tx+y+z−7=0.
Giải hệ ta được t=43⇒H=(43;103;73).
Phương trình đường thẳng AH là
{x=3+5ty=3−tz=1−4t.
LG 3
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng trung trực (π) của đoạn AB. Gọi I là trung điếm AB, ta cóI=(32;52;1).
Mặt phẳng (π) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là →BA=(3;1;0) nên có phương trình : (π):3x+y−7=0.
Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (π). Do đó d có phương trình :
{x=ty=7−3tz=2t.
LG 4
Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.
Lời giải chi tiết:
Vì AB⊥mp(π) và d⊂mp(π)nên nếu trong mp(π), kẻ đường thẳng IM vuông góc với d(M∈d) thì IM chính là đường vuông góc chung của AB và d.
Ta có M=(t;7−3t;2t)
⇒→IM=(t−32;92−3t;2t−1).
Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là →ud=(1;−3;2).
IM⊥d⇔→IM.→ud=0⇔t=1714
⇒→IM=(−414;1214;2014)
Vậy đường vuông góc chung của AB và d là đường thẳng qua I và có vec tơ chỉ phương 144→IM=(−1;3;5), đường thẳng đó có phương trình :
{x=32−ty=52+3tz=1+5t.
LG 5
Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB (K≠B) sao cho
d(K,(P))=d(B,(P)).
Lời giải chi tiết:
Cách 1. K∈AB⇒K=(3−3t;3−t;1).
d(K,(P))=d(B,(P))⇔|3−3t+3−t+1−7|√3=|0+2+1−7|√3.⇔|−4t|=|−4|⇔|t|=1⇔[t=1t=−1.
Với t=1, K=(0;2;1) nên \(K \equiv B\((loại).
Với t=-1, K=(6;4;1).
Vậy K(6;4;1) là điểm phải tìm.
Cách 2. Vì A∈(P) nên d(K;(P))=d(B,(P)) khi và chỉ khi A là trung điểm của KB. Từ đó suy ra K=(6;4;1).
LG 6
Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Với C∈d thì SABC=12AB.CI, AB không đổi nên SABC nhỏ nhất khi và chỉ khi IC nhỏ nhấ, tức C là hình chiếu của I trên d.
Vì C∈d nên C=(t;7−3t;2t), suy ra →IC=(t−32;7−3t−52;2t−1)
Ta có IC⊥d⇔→IC.→ud=0
⇔t−32−3(7−3t−52)+2(2t−1)=0
⇔t=1714.
Vậy điểm C cần tìm là C=(1714;4714;3414)(chính là điểm M ở câu 4).
