Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
\(\eqalign{ & (\alpha ):2x - y + 3z + 1 = 0, \cr & (\alpha '):x - y + z + 5 = 0 \cr} \)
Và điểm M(1; 5; 0).
LG a
Chứng minh \((\alpha )\) và \((\alpha ')\) cắt nhau. Tính góc giữa\((\alpha )\) và \((\alpha ')\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right),\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} \) không cùng phương, do đó hai mặt phẳng (\(\alpha \)) và (\(\alpha '\)) cắt nhau.
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có :
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} } \right|}}\)
\(= {{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 3.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 9} .\sqrt {1 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {14} .\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {14} }}\)
LG b
Viết phương trình tham số của giao tuyến \(\Delta \) của \((\alpha )\) và \((\alpha ')\).
Lời giải chi tiết:
\(M(x;y\;;z)\) thuộc \(\Delta \) khi và chỉ khi toạ độ của M thoả mãn hệ phương trình :
\(\left\{ \matrix{ 2x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr x{\rm{ }} - y + z + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr} \right.\)
Đặt z = t, ta có
\(\left\{ \matrix{ 2x{\rm{ }} - y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} - 3t{\rm{ }} \hfill \cr x{\rm{ }} - y = {\rm{ }} - 5{\rm{ }} - t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 4 - 2t \hfill \cr y = 9 - t. \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là
\(\left\{ \matrix{ x{\rm{ }} = 4{\rm{ }} - 2t{\rm{ }} \hfill \cr {\rm{y }} = {\rm{ }}9 - t \hfill \cr z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr} \right.\)
LG c
Gọi hình chiếu của M trên mp \((\alpha )\), K là hình chiếu của M trên mp \((\alpha ')\). Tính độ dài đoạn HK.
Lời giải chi tiết:
Vì H là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) nên toạ độ \((x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z)\) của H thoả mãn hệ :
\(\left\{ {\matrix{ {x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}2t} \hfill \cr {y{\rm{ }} = {\rm{ }} - t} \hfill \cr {z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}3t} \hfill \cr {2x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = 0} \hfill \cr } } \right. \)
\(\Rightarrow t = - {9 \over 7} \Rightarrow H = \left( { - {{11} \over 7};{9 \over 7};{8 \over 7}} \right).\)
Vì K là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với \(\left( {\alpha '} \right)\) nên toạ độ \((x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z)\) của K thoả mãn hệ :
\(\left\{ {\matrix{ {x{\rm{ }} = 1 + {\rm{ }}t} \hfill \cr {y{\rm{ }} = - t} \hfill \cr {z{\rm{ }} = 5 + {\rm{ }}t} \hfill \cr {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z + 5 = 0} \hfill \cr } } \right. \)
\(\Rightarrow t = - {{11} \over 3} \Rightarrow K = \left( { - {8 \over 3};{{11} \over 3};{4 \over 3}} \right).\)
Vậy \(HK = \sqrt {{{\left( { - {8 \over 3} + {{11} \over 7}} \right)}^2} + {{\left( {{{11} \over 3} - {9 \over 7}} \right)}^2} + {{\left( {{4 \over 3} - {8 \over 7}} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {{{\left( {{{23} \over {21}}} \right)}^2} + {{\left( {{{50} \over {21}}} \right)}^2} + {{\left( {{4 \over {21}}} \right)}^2}} = {{\sqrt {3045} } \over {21}}.\)
LG d
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \)
Lời giải chi tiết:
\(\Delta \) là đường thẳng đi qua \({M_o}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}9{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 2; - 1;1} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {{M_o}M} = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 9{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right),\) suy ra
\(\left[ {\overrightarrow {{M_o}M} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ { - 9} & 5 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 5 & { - 3} \cr 1 & { - 2} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 3} & { - 9} \cr { - 2} & { - 1} \cr } } \right|} \right) \)
\(= {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 7{\rm{ }};{\rm{ }} - 15} \right).\)
Vậy
\(d(M,\Delta ){\rm{ }} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_o}M} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} \)
\(= \;{{\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( { - 7} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( { - 15} \right)}^2}\;} } \over {\sqrt {\;{{\left( { - 2} \right)}^2} + {\rm{ }}{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = {{\sqrt {145} } \over {\sqrt 3 }}.\)
LG e
Viết phương trình đường thẳng đi qua M , vuông góc với \(\Delta \) và cắt \(\Delta \).
Lời giải chi tiết:
Gọi (\(\beta \)) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \). Phương trình của (\(\beta \)) là
\( - 2(x{\rm{ }} - 1){\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}5} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
hay \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Gọi J(x ; y ; z) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với mặt phẳng (\(\beta \)).
Toạ độ của J thoả mãn hệ
\(\left\{ {\matrix{ \matrix{ x = {\rm{ }}4{\rm{ }} - 2t{\rm{ }} \hfill \cr {\rm{y }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} - t \hfill \cr {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t \hfill \cr} \hfill \cr {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right.\)
\(\Rightarrow t = {{10} \over 3} \Rightarrow J = \left( { - {8 \over 3};{{17} \over 3};{{10} \over 3}} \right).\)
MJ chính là đường thẳng qua M, vuông góc và cắt đường thẳng \(\Delta \); nó có phương trình chính tắc là
\({{x - 1} \over {11}} = {y \over { - 17}} = {{z - 5} \over 5}.\)
LG g
Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của \((\alpha )\) ,\((\alpha ')\) và vuông góc với mặt phẳng (P):3x - y + 1=0.
Lời giải chi tiết:
Gọi (R) là mặt phẳng qua \(\Delta \) (giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\)) và vuông góc với mp(P): \(3x{\rm{ }} - y + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\)
Khi đó (R) đi qua điểm Mơ = (4 ; 9 ; 0) và có vectơ pháp tuyến
\(\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] \)
\(= \left( {\left| {\matrix{ { - 1} & 1 \cr { - 1} & 0 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & { - 2} \cr 0 & 3 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 2} & { - 1} \cr 3 & { - 1} \cr } } \right|} \right)\)
\(= \left( {1;3;5} \right).\)
Vậy phương trình của mp(R) là
\(1(x{\rm{ }} - 4){\rm{ }} + {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}5\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}5z{\rm{ }} - {\rm{ }}31{\rm{ }} = 0.\)
