Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(α):2x−y+3z+1=0,(α′):x−y+z+5=0
Và điểm M(1; 5; 0).
LG a
Chứng minh (α) và (α′) cắt nhau. Tính góc giữa(α) và (α′).
Lời giải chi tiết:
Vì →nα=(2;−1;3),→nα′=(1;−1;1) nên →nα và →nα′ không cùng phương, do đó hai mặt phẳng (α) và (α′) cắt nhau.
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có :
cosφ=|→nα.→nα′||→nα|.|→nα′|
=|2.1+(−1).(−1)+3.1|√4+1+9.√1+1+1=6√14.√3=2√3√14
LG b
Viết phương trình tham số của giao tuyến Δ của (α) và (α′).
Lời giải chi tiết:
M(x;y;z) thuộc Δ khi và chỉ khi toạ độ của M thoả mãn hệ phương trình :
{2x−y+3z+1=0x−y+z+5=0.
Đặt z = t, ta có
{2x−y=−1−3tx−y=−5−t⇒{x=4−2ty=9−t.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là
{x=4−2ty=9−tz=t.
LG c
Gọi hình chiếu của M trên mp (α), K là hình chiếu của M trên mp (α′). Tính độ dài đoạn HK.
Lời giải chi tiết:
Vì H là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với (α) nên toạ độ (x;y;z) của H thoả mãn hệ :
{x=1+2ty=−tz=5+3t2x−y+3z+1=0
⇒t=−97⇒H=(−117;97;87).
Vì K là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với (α′) nên toạ độ (x;y;z) của K thoả mãn hệ :
{x=1+ty=−tz=5+tx−y+z+5=0
⇒t=−113⇒K=(−83;113;43).
Vậy HK=√(−83+117)2+(113−97)2+(43−87)2
=√(2321)2+(5021)2+(421)2=√304521.
LG d
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ
Lời giải chi tiết:
Δ là đường thẳng đi qua Mo(4;9;0) và có vectơ chỉ phương →uΔ=(−2;−1;1).
Ta có →MoM=(−3;−9;5), suy ra
[→MoM,→uΔ]=(|−95−11|;|5−31−2|;|−3−9−2−1|)
=(−4;−7;−15).
Vậy
d(M,Δ)=|[→MoM,→uΔ]||→uΔ|
=√(−4)2+(−7)2+(−15)2√(−2)2+(−1)2+12=√145√3.
LG e
Viết phương trình đường thẳng đi qua M , vuông góc với Δ và cắt Δ.
Lời giải chi tiết:
Gọi (β) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với Δ. Phương trình của (β) là
−2(x−1)−1(y−0)+1(z−5)=0
hay 2x+y−z+3=0.
Gọi J(x ; y ; z) là giao điểm của đường thẳng Δ với mặt phẳng (β).
Toạ độ của J thoả mãn hệ
{x=4−2ty=9−tz=t2x+y−z+3=0
⇒t=103⇒J=(−83;173;103).
MJ chính là đường thẳng qua M, vuông góc và cắt đường thẳng Δ; nó có phương trình chính tắc là
x−111=y−17=z−55.
LG g
Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của (α) ,(α′) và vuông góc với mặt phẳng (P):3x - y + 1=0.
Lời giải chi tiết:
Gọi (R) là mặt phẳng qua Δ (giao tuyến của (α) và (α′)) và vuông góc với mp(P): 3x−y+1=0. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến →nP=(3;−1;0).
Khi đó (R) đi qua điểm Mơ = (4 ; 9 ; 0) và có vectơ pháp tuyến
→nR=[→uΔ,→nP]
=(|−11−10|;|1−203|;|−2−13−1|)
=(1;3;5).
Vậy phương trình của mp(R) là
1(x−4)+3(y−9)+5(z−0)=0
⇔x+3y+5z−31=0.
