Đề bài
Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A, lấy một điểm S. Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để tính thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.
Lời giải chi tiết
MB⊥AM,MB⊥SA⇒MB⊥(SAM)⇒MB⊥AH(1)SB⊥(AKH)⇒SB⊥AH.(1)
Từ (1) và (2) suy ra AH⊥(SMB)⇒AH⊥SM,AH⊥HK.VS.AHK=13SAHK.SK=16AH.KH.SK.
Vì SK cố định nên :
VS.AHKmax⇔(AH.KH)max
⇔(AH2.KH2)max⇔AH2=KH2=AK22
( vì AH2+HK2=AK2 không đổi).
Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểm M thỏa mãn điều kiện AH2=AK22.(∗)
Đặt ^MAB =x,SA=h, AB=2R. Ta có
AK2=SA2.AB2SB2=4R2h24R2+h2,AM=2Rcosx,AH2=SA2.AM2SM2=4h2R2cos2xh2+4R2cos2x.
Từ (∗) ta suy ra : cos2x=h22(h2+2R2)<12.
Từ đây ta xác định được x, tức là xác định được vị trí điểm M (có hai vị trí của điểm M ).
Từ cos2x<12 suy ra cosx<√22=cos450⇒x>450.
Vậy cung BM lớn hơn cung AM
