LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y=x2−3x+1x
Lời giải chi tiết:
Ta có:
y=x2−3x+1x=x−3+1x
+) TXĐ: D=R∖{0}
+) Chiều biến thiên:
lim nên TCĐ: x = 0.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = 0 nên TCX: y = x - 3.
\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ; - 1} \right) và \left( {1; + \infty } \right)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \left( { - 1;0} \right) và \left( {0;1} \right)
Hàm số đạt cực đại tại x = - 1, {y_{CD}} = - 5.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,{y_{CT}} = - 1.
+) Đồ thị:
LG b
Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \left( C \right) của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình {{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0 (1)
Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Dễ thấy {0^2} - \left( {m + 3} \right).0 + 1 = 1 \ne 0 nên 0 không là nghiệm của phương trình.
(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
∆ = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0
\Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0
\Leftrightarrow m < - 5 hoặc m > - 1
LG c
Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Với m < - 5 hoặc m > - 1 thì đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
{x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2} và {y_M} = m. (2)
Từ đó suy ra {x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2} hay {y_M} = 2{x_M} - 3.
Vậy điểm M nằm trên đường thẳng y = 2x - 3.
Từ (2) suy ra m = 2{x_M} - 3.
Do m < - 5 hoặc m > - 1 nên ta có
\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} < - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr} \right.
Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty ) là phần của đường thẳng y = 2x - 3 ứng với x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup ( 1; + \infty )
Đó là hai nửa đường thẳng.
