LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
\(y = x + 1 + {4 \over {x + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên TCĐ: \(x = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0\) nên TCX: \(y = x + 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3,{y_{CD}} = - 4\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({y_{CT}} = 4\).
+) Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng với mọi giao điểm I của hai đường tiệm cận của (H) làm tâm đối xứng của (H).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận.
Tọa độ của I thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I\left( { - 1;0} \right)\).
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y\end{array} \right.\)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(\begin{array}{l}Y = X - 1 + 1 + \frac{4}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y = X + \frac{4}{X}\end{array}\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.
