LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
y=x+1+4x+1
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: D=R∖{−1}
+) Chiều biến thiên:
lim nên TCĐ: x = - 1.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{4}{{x + 1}} = 0 nên TCX: y = x + 1.
Ta có:
\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 2\\x + 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array}
BBT:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \infty ; - 3} \right) và \left( {1; + \infty } \right).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \left( { - 3; - 1} \right) và \left( { - 1;1} \right).
Hàm số đạt cực đại tại x = - 3,{y_{CD}} = - 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, {y_{CT}} = 4.
+) Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng với mọi giao điểm I của hai đường tiệm cận của (H) làm tâm đối xứng của (H).
Lời giải chi tiết:
Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Tọa độ của I thỏa mãn: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.
\Rightarrow I\left( { - 1;0} \right).
Công thức chuyển hệ tọa độ theo véc tơ \overrightarrow {OI} là \left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y\end{array} \right.
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:
\begin{array}{l}Y = X - 1 + 1 + \frac{4}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y = X + \frac{4}{X}\end{array}
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc I làm tâm đối xứng.
