LG a
Chứng minh rằng nếu ba số phức z1,z2,z3 thỏa mãn
{|z1|=|z2|=|z3|=1z1+z2+z3=1
Thì một trong ba số đó phải bằng 1
Giải chi tiết:
Viết 1−z1=z2+z3
Nếu z1=1 thì z2+z3=0
Nếu z1≠1 thì 1−z1≠0, điểm P biểu diễn số 1+(−z1)=z2+z3 không trùng với O nên do 1=|−z1|=|z2|=|z3|, đường trung trực OP cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm biểu diễn 1,−z1 và cũng là hai điểm biểu diễn z2,z3 (h.4.7). Vậy z2=1,z3=−z1 hoặc z2=−z1,z3=1. Tóm lại hoặc z1=1 hoặc z2=1 hoặc z3=1 và tổng hai số z còn lại bằng 0
LG b
Giải hệ phương trình ba ẩn phức z1,z2,z3 sau:
{|z1|=|z2|=|z3|=1z1z2+z3=1z1z2z3=1
Giải chi tiết:
Từ hai phương trình đầu của hệ, theo câu a) có thể coi z1=1,z2+z3=0. Khi đó điều kiện z1z2z3=1 kéo theo hoặc z2=i,z3=−i hoặc z2=−i,z3=i.. Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ ba (1,i,−i)
