Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R. Chứng minh
LG a
\(\int\limits_0^a {{x^3}f\left( {{x^2}} \right)} dx = {1 \over 2}\int\limits_0^{{a^2}} {xf\left( x \right)dx} \) với a > 0
Lời giải chi tiết:
Biến đổi \(u = {x^2}\)
LG b
\(\int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)} dx = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Biến đổi \(u = \pi - x\), ta có \(du = - dx\) và
\(\eqalign{& I = \int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)} dx = - \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - u} \right)f\left( {\sin u} \right)} du & = \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - u} \right)f\left( {\sin u} \right)} du = \pi \int\limits_0^\pi {f\left( {\sin u} \right)} du - 1 \cr} \)
Suy ra \(I = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)} dx\)
