Đề bài
Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng √2. Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC),AA1=√3, góc ^A1AB nhọn , góc giữa mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải chi tiết
Hạ A1K⊥AB ( với K∈AB) thì A1K⊥(ABC). Vì ^A1AB nhọn nên K thuộc tia AB.
Kẻ KM⊥AC thì A1M⊥AC (định lí ba đường vuông góc ), do đó ^A1MK = 600,
Giả sử A1K=x, ta có :
AK=√A1A2−A1K2=√3−x2
MK=AK.sin^KAM
=√3−x2.sin450=√22√3−x2.
Mặt khác, MK=A1K.cot600=x√3, suy ra
√2.(3−x2)2=x√3⇒x=3√5.
Vậy VABC.A1B1C1=SABC.A1K
=12AC.CB.A1K=3√510
