Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng Δm là giao tuyến của 2 mặt phẳng
(α) : mx + y - mz -1= 0 và (α′):x−my+z−m=0
LG a
Chứng minh góc giữa Δm và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa Δm và trục Oz không đổi.
Lời giải chi tiết:
Δm là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là →n1(m;1;−m) và →n2(1;−m;1). Vậy Δm có vectơ chỉ phương là
→um=[→n1,→n2]=(1−m2;−2m;−1−m2).
Trục Oz có vectơ chỉ phương →k=(0;0;1).
Vậy nếu gọi φm là góc giữa hai đường thẳng Δm và Oz thì
cosφm=|→um.→k||→um|.|→k|=1+m2√(1−m2)2+4m2+(1+m2)2=1√2.
Suy ra φm=45o (không đổi).
Điểm M(x; y; z) thuộc Δm khi toạ độ của M là nghiệm của hệ
{mx+y−mz−1=0x−my+z−m=0. (*)
Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình
2mx+(1−m2)y−1−m2=0 (không chứa z).
Đây là phương trình của mặt phẳng (αm) chứa Δm và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa Δm và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(αm). Vậy khoảng cách đó bằng:
dm=|−1−m2|√4m2+(1−m2)2=1( không đổi)
LG b
Tìm tập hợp các giao điểm M của Δm và mp (Oxy) khi m thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Toạ độ giao điểm M của Δm và mp(Oxy) là nghiệm của hệ :
{mx+y=1x−my=mz=0.
Bình phương hai vế của hai phương trình đầu của hệ rồi cộng lại, ta suy ra
{x2+y2=1z=0.
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 trong mặt phẳng toạ độ (Oxy).
