LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
y=−x+32x+1
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: D=R∖{−12}
+) Chiều biến thiên:
y′=−1−3.2(2x+1)2=−7(x+1)2<0, ∀x∈D
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−12) và (−12;+∞).
lim nên TCN: y = - \frac{1}{2}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = - \infty nên TCĐ: x = - \frac{1}{2}.
BBT:
+) Đồ thị:
Cắt trục hoành tại \left( {3;0} \right), cắt trục tung tại \left( {0;3} \right).
LG b
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = mx + m – 4 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H)
Lời giải chi tiết:
Gọi A\left( {{x_0};{y_0}} \right) là điểm cố định mà đường thẳng y = mx + m - 4 luôn đi qua.
Khi đó {y_0} = m{x_0} + m - 4,\forall m
\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x_0} + m - 4 - {y_0} = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 1} \right) - {y_0} - 4 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 0\\ - {y_0} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{y_0} = - 4\end{array} \right.\end{array}
\Rightarrow A\left( { - 1; - 4} \right).
Dễ thấy A\left( { - 1; - 4} \right) \in \left( H \right) vì \frac{{ - \left( { - 1} \right) + 3}}{{2.\left( { - 1} \right) + 1}} = - 4
Vậy ta có đpcm.
