Đề bài
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà trung đoạn của nó ( đường cao của một mặt bên hạ từ đỉnh hình chóp) bằng 6 còn góc giữa hai mặt bên dối diện bằng 600. Qua CD, dựng mặt phẳng (α) vuông góc với mp(SAB), cắt SA, SB lần lượt tại P1 và P.
Hãy tính thể tích khối chóp S.CDP1P.
Lời giải chi tiết
Giả sử SK và SE là hai trung đoạn của khối chóp.
Vì CD//AB nên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) song song với CD và AB.
Ta có SE⊥CD;SK⊥AB⇒SE⊥Δ,SK⊥Δ⇒ ^KSE là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
Vậy ^KSE = 600.
Do CD//AB nên giao tuyến P1P của (α) và (SAB)song song với CD và AB.
Tứ đó dễ thấy tứ giác CDP1P là hình thang cân và EH là đường cao của nó (H=SK∩P1P).
Ta có EH⊥P1P, mà P1P=(α)∩(SAB),(α)⊥(SAB) nên suy ra EH⊥(SAB)⇒EH⊥SH.
Mặt khác SH⊥P1P⇒SH⊥(CDP1P) nên SH là đường cao của hình chóp S.CDP1P.
Tam giác SKE cân đỉnh S và có góc ở đỉnh bằng 600 nên nó là tam giác đều.
Vậy H là trung điểm của SK, suy ra
P1P=12AB=12KE=12SE=12.6=3.
Ta có :
VS.CDP1P=13SCDP1P.SH=13⋅12(CD+P1P).EH.SH=16(6+3)⋅6√32⋅3=272√3
