Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
LG a
Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’ và A’B.
Lời giải chi tiết:
Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là đỉnh A’ của hình lập phương, tia Oy chứa A’B’, tia Oy chứa A’D’ và tia Oz chứa AA’. Khi đó
A’(0;0;0), B’(1;0;0);
D’(0;1;0), A=(0;0;1);
C=(1;1;1), B=(1;0;1);
D=(0;1;1), C’(1;1;0).
Từ đó :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} = (1;1; - 1),\overrightarrow {A'B} = (1;0;1) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A'B} = 0 \Rightarrow AC' \bot A'B. \cr} \)
LG b
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{ & M = \left( {{1 \over 2};0;0} \right),N = \left( {1;{1 \over 2};1} \right),P = \left( {0;1;{1 \over 2}} \right). \cr & \overrightarrow {MN} = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MN \bot AC'. \cr & \overrightarrow {MP} = \left( { - {1 \over 2};1;{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MP \bot AC'. \cr & \cr} \)
Vậy \(AC' \bot mp(MNP).\)
LG c
Tính thể tích tứ diện AMNP.
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = \left( { - {1 \over 2};0;1} \right). \cr & \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( { - {3 \over 4}; - {3 \over 4};{3 \over 4}} \right) \cr & \Rightarrow {V_{AMNP}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MA} } \right| \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}.\left| {{9 \over 8}} \right| = {3 \over {16}}. \cr} \)
