Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
LG a
Đi qua điểm M0(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.
Lời giải chi tiết:
Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến Δ của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
{x−y+z=43x−y+z=1.
Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.
Cho z=0, ta có {x−y=43x−y=1⇒{x=−32y=−112.
Vậy M1(−32;−112;0)∈Δ.
Cho y=0, ta có {x+z=43x+z=1⇒{x=−32y=112.
Vậy M2(−32;0;112)∈Δ.
Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua M0,M1,M2.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:
15x−7y+7z−16=0.
LG b
Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.
Lời giải chi tiết:
Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình
{y+2z−4=0x+y−z+3=0x+y+z−2=0
Có một nghiệm duy nhất là(12;−1;52).
Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng
y+2z−4=0 và x+y−z+3=0
Cắt mặt phẳng x+y+z−2=0.
Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho z = 0, ta được M1(−7;4;0), Cho y = 0, ta được M2(−1;0;2).
Gọi (α) là mặt phẳng song song với mặt phẳng x+y+z−2=0 thì (α) có dạng :
x+y+z+D=0,D≠−2.
Ta xác định D để M1,M2∈(α). D là nghiệm của hệ :
{−7+4+D=0−1+2+D=0.
Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
LG c
Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.
Lời giải chi tiết:
Ta tìm hai điểm M1,M2 thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Gọi →n′=(2;0;−1) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x−z+7=0.
Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M1 và có vec tơ pháp tuyến →n=[→M1M2,→n′].
Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :
x−22y+2z+21=0.
