Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình 1.3) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của một hình quạt còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu (h.1.3), \(0 < x < 2\pi \)
LG a
Hãy biểu diễn hán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x.
Lời giải chi tiết:
Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài \(\overparen{AB}\) của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có \(2\pi r = Rx\)
Do đó \(r = {{Rx} \over {2\pi }}\)
và \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - {{{R^2}{x^2}} \over {4{\pi ^2}}}} \)\(= {R \over {2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \)
LG b
Tính thể tích hình nón theo R và x.
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình nón là
\(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,\)\(0 < x < 2\pi \)
LG c
Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Lời giải chi tiết:
Ta tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) sao cho tại đó V đạt giá trị lớn nhất
\(V' = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}.{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)} \over {\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)
Với \(0 < x < 2\pi \), ta có
\(V' = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = {{2\sqrt 6 } \over 3}\pi \approx 1,63\pi \)
Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(x = {{2\sqrt 6\pi } \over 3} \approx 1,63\pi \)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;2\pi } \right)} V = V({{2\sqrt 6 \pi} \over 3}) = {{2\sqrt 3 } \over {27}}\pi {R^3}\)
