Bài 94 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

139 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lập phương ABCD.A^’B^’C^’D^’ cạnh bằng a. Xét hai điểm M trên AD’ và N trên DB sao cho AM= DN= k (0< k <a $\sqrt 2$ ). Gọi P là trung điểm B’C’.

LG a

Tính cos của góc giữa hai đường thẳng AP và BC’.

Lời giải chi tiết:

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA' (h.105).

Khi đó :

$\eqalign{ & A = \left( {0;0;0} \right) \cr & B = \left( {a;0;0} \right) \cr & D = \left( {0;a;0} \right) \cr & C = \left( {a;a;0} \right) \cr}$ $\eqalign{ & A' = \left( {0;0;a} \right) \cr & B' = \left( {a;0;a} \right) \cr & D' = \left( {0;a;a} \right) \cr & C' = \left( {a;a;a} \right) \cr}$

$P = \left( {a;{a \over 2};a} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AP} = \left( {a;{a \over 2};a} \right)$

$\overrightarrow {BC'} = \left( {0;a;a} \right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $BC'$ ta có :

$\cos \alpha = {{\left| {0 + {{{a^2}} \over 2} + {a^2}} \right|} \over {\sqrt {{a^2} + {{{a^2}} \over 2} + {a^2}} .\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \alpha = {45^o}$

LG b

Tính thể tích khối tứ diện APBC’.

Lời giải chi tiết:

Ta có : $\overrightarrow {AP} = \left( {a;{a \over 2};a} \right)$ , $\overrightarrow {AB} = {\rm{ }}\left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {AC'} = (a;a;a)$

$\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ {{a \over 2}} & a \cr 0 & 0 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ a & a \cr 0 & a \cr } } \right|;\left| {\matrix{ a & {{a \over 2}} \cr a & 0 \cr } } \right|} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \left( {0;{a^2}; - {{{a^2}} \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AC'} = 0 + {a^3} - {{{a^3}} \over 2} = {{{a^3}} \over 2}. \cr}$

Vậy ${V_{APBC'}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AC'} } \right| = {1 \over 6}.{{{a^3}} \over 2} = {{{a^3}} \over {12}}.$

LG c

Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’CB) khi k thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( {A'D'CB} \right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

$px{\rm{ }} + {\rm{ }}qz{\rm{ }} + {\rm{ }}n{\rm{ }} = 0$ $\left( {n \ne 0,{p^2} + {q^2} > 0} \right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A',B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp $\left( {A'D'CB} \right)$ là $x + z - {\rm{ }}a = {\rm{ }}0$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow n = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).$

Từ giả thiết $M \in AD',{\rm{ }}N \in DB;{\rm{ }}AM = {\rm{ }}DN = k$ , ta tính được :

$M = \left( {0;{k \over {\sqrt 2 }};{k \over {\sqrt 2 }}} \right),N = \left( {{k \over {\sqrt 2 }};{{a\sqrt {2 } -k} \over {\sqrt 2 }};0} \right).$

Suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( {{k \over {\sqrt 2 }};{{a\sqrt {2 } -2k} \over {\sqrt 2 }}; - {k \over {\sqrt 2 }}} \right).$

Ta có $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 1.{k \over {\sqrt 2 }} + 0\left( {{{a\sqrt {2 }-2 k} \over {\sqrt 2 }}} \right) + 1.\left( { - {k \over {\sqrt 2 }}} \right) = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} \bot \overrightarrow n .$

Rõ ràng $N \notin mp\left( {A'D'CB} \right).$ Suy ra MN song song với mp $\left( {A'D'CB} \right).$

LG d

Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có $M{N^2} = {\left( {{k \over {\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt {2 }-2 k} \over {\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( { - {k \over {\sqrt 2 }}} \right)^2}.$

$\eqalign{ & = 3{k^2} - 2a\sqrt 2 k + {a^2} \cr & = 3\left[ {{{\left( {k - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right)}^2} + {{{a^2}} \over 9}} \right] \ge 3{{{a^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3}. \cr}$

$M{N^2}$ nhỏ nhất bằng ${{{a^2}} \over 3}$ khi $k = {{a\sqrt 2 } \over 3}$ (thoả mãn điều kiện $0{\rm{ }} < k{\rm{ }} < {\rm{ }}a\sqrt 2$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng ${{a\sqrt 3 } \over 3}$ khi $k = {{a\sqrt 2 } \over 3}$ .

LG e

Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN song song với A’C.

Lời giải chi tiết:

Khi MN ngắn nhất thì $k = {{a\sqrt 2 } \over 3}$ Khi đó $\overrightarrow {MN} = \left( {{a \over 3};{a \over 3};{{ - a} \over 3}} \right).$

Ta lại có $\overrightarrow {AD'} = {\rm{ }}\left( {0;a;{\rm{ }}a} \right),\overrightarrow {DB} {\rm{ }} = (a; - a;0)$ nên $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AD'} = {\rm{ }}0,\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {DB} = {\rm{ }}0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD' và DB.

Mặt khác $\overrightarrow {A'C} = \left( a;a; - a\right) = 3\overrightarrow {MN}$ , chứng tỏ $\overrightarrow {MN}$ , $\overrightarrow {A'C}$ cùng phương. Do $N \not\in A'C$ nên $MN//A'C.$

SBT Toán lớp 12 Nâng cao