Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:
LG a
\({16^{x + 1}} + {4^{x - 1}} - 5m = 0;\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \({4^x} = t(t > 0)\). Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình \(16{t^2} + \dfrac{t}{4} - 5m = 0\) (1) có nghiệm dương duy nhất.
Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta = \dfrac{1}{16} + 320m \ge0\) hay \(m\ge - {1 \over {5120}}\) . Lại có \({t_1} + {t_2} = - \dfrac{1}{64}<0;{t_1}{t_2} = - \dfrac{5m}{16}\) .
Nên (1) có nghiệm dương duy nhất khi \({t_1}{t_2} = - \dfrac{5m}{16} < 0\), tức là m > 0.
LG b
\(2{\log _2}\left( {x + 4} \right) = {\log _2}\left( {mx} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Bài toán quy về tìm m để hệ
\(\left\{ \matrix{{(x + 4)^2} = mx \hfill \cr x + 4 > 0 \hfill \cr} \right.\)
có nghiệm duy nhất
Hay
\(\left\{ \matrix{{x^2} + (8 - m)x + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr x > - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2\right) \hfill \cr} \right.\) có nghiệm duy nhất
Tức là (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x > - 4\).
Phương trình (1) có nghiệm khi\(\Delta = {m^2} - 16m \ge 0\) hay \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 16\) .
Xét các trường hợp :
+) \(m = 0\) thì (1) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = {{0 - 8} \over 2} = - 4\) ( không thỏa mãn \(x > - 4\) ).
+) \(m = 16\) thì (1) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = {{16 - 8} \over 2} = 4\) ( thỏa mãn \(x > - 4\) ).
+) \(m < 0\) hoặc \(m > 16\) thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) .
(1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x > - 4\) khi và chỉ khi \({x_1} < - 4 < {x_2} \Leftrightarrow ({x_1} + 4)({x_2} + 4) < 0 \)
\(\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 4({x_1} + {x_2}) + 16 < 0\) .
Theo hệ thức . Vi-et ta có \({x_1}{x_2} = 16\) và \({x_1} + {x_2} = m - 8\).
Dẫn theo \(16 + 4(m - 8) + 16 < 0 \Leftrightarrow m < 0\) .
