Hãy chứng minh các tính chất sau đây của căn bậc n dựa vào tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương:
LG a
Cho n là một số nguyên dương, k là một số nguyên. Khi đó, với hai số không âm a và b, ta có
1) \(\root n \of {ab} = \root n \of a .\root n \of b \)
2) \(\root n \of {{a \over b}} = {{\root n \of a } \over {\root n \of b }}\) \(\left( {b \ne 0} \right)\)
3) \(\root n \of {\root k \of a } = \root {nk} \of a \) \(\left( {k > 0} \right)\)
4) \(\root n \of a = \root {nk} \of {{a^k}} \) \(\left( {k > 0} \right)\)
5) \({\root {n} \of {a^k }={ \left( {\root n \of a } \right)} ^k}\) \((a \ne 0\) nếu \(k \le 0)\)
Lời giải chi tiết:
1) Lũy thừa bậc n hai vế ta được: \(ab=ab\) (luôn đúng)
2) Lũy thừa bậc n hai vế ta được: \({a \over b} = {a \over b}\) (luôn đúng)
3) Lũy thừa bậc nk hai vế ta được: \(a=a\) (luôn đúng)
4) Lũy thừa bậc nk hai vế ta được: \(a^k=a^k\) (luôn đúng)
5) Sử dụng 1) khi a = b và quy nạp theo k
LG b
Đối với hai số a, b tùy ý mà \(0 \le a \le b\) và n nguyên dương, ta có
\(\root n \of a < \root n \of b \)
Lời giải chi tiết:
Do \(0 \le a \le b\) nên \(\root n \of a \ge 0;\root n \of b > 0\)
Giả sử \(\root n \of a \ge \root n \of b \), suy ra \({\left( {\root n \of a } \right)^n} \ge {\left( {\root n \of b } \right)^n}\) vì n > 0, hay \(a \ge b\). Điều này mâu thuẫn với giải thiết a < b.
Vậy \(\root n \of a < \root n \of b \)
Loigiaihaycom
