Đề bài
Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có tính chất
AB+CD = AC+BD = AD+BC
Thì có mặt cầu tiếp xác với các cạnh của tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết
Gọi O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và các điểm tiếp xúc của đường tròn đó với các cạnh M, N, P.
Gọi Δ1 là trục của đường tròn này thì Δ1 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA.
Tương tự, nếu gọi Δ2 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABD thì Δ2 chứa tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABD .
Kí hiệu điểm tiếp xúc của ba cạnh ấy với đường tròn nội tiếp ΔABD là N1, Q, R (N1 thuộc AB).
Khi ấy, vì
AN=AB+AC−BC2,AN1=AB+AD−BD2
Mà AC+BD = AD+BC nên AN = AN1, từ đó N≡N1.
Suy ra AB⊥mp(O1NO2).
Mặt khác, Δ1⊥AB và cắt mp(ABC) tại O1,Δ2 vuông góc với AB và cắt mp(ABD) tại O2 nên Δ1,Δ2 cùng nằm trong mp(O1NO2).
Từ đó Δ1 cắt Δ2 tại O, đó là điểm cách đều năm cạnh AB, AC, BC, AD, BD của tứ diện ABCD hay
OM = ON = OP = OQ = OR. (1)
Hoàn toàn tương tự như trên ta cũng có Δ2 cắt Δ3 (Δ3 là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ACD) tại O’ và
O’M = O’N = O’Q = O’R = O’S (2)
(S là điểm tiếp xúc của cạnh CD và đường tròn nội tiếp ΔACD).
Từ (1) và (2) ta có O, O’ cùng là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm M, N, Q, R mà M, N, Q, R không đồng phẳng, vậy O≡O′.
Đó là tâm mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện, bán kính mặt cầu đó là ON.
