Đề bài
Chứng minh rằng trong các hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và thể tích là 1000, hình lập phương có diện tích toàn phần là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi x,h lần lượt là kích thước cạnh đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Thể tích V=x2h=1000⇒h=1000x2
Diện tích toàn phần:
Stp=4.xh+2.x2 =4x.1000x2+2x2 =2x2+4000x
Ta có:
Stp=2x2+4000x =2x2+2000x+2000x
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương 2x2,2000x,2000x ta có:
Stp=2x2+2000x+2000x≥33√2x2.2000x.2000x=33√8000000=600
⇒minStp=600 khi
2x2=2000x⇔2x3=2000⇔x3=1000⇔x=10⇒h=1000102=10
Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi hình hộp đó là hình lập phương.
