Đề bài
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước, tìm hình chóp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu cạnh đáy của hình chóp là a, chiều cao là h, thể tích khối chóp là V, diện tích toàn phần là Stp thì \(r = {{3V} \over {{S_{tp}}}}\), tức là \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\). Vậy Stp nhỏ nhất khi và chỉ khi V nhỏ nhất.
Mặt khác, cũng từ hệ thức \({S_{tp}} = {{3V} \over r}\), ta có hệ thức liên hệ giữa a, h và r là
\(\eqalign{ & r = {{ah} \over {a + \sqrt {{a^2} + 12{h^2}} }}\;\;\;\;(1) \cr & \left( {V = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{\sqrt 3 } \over {12}}{a^2}.h} \right). \cr} \)
Gọi M là trung diểm của BC và đặt \(\widehat {SMH}\) =\(\varphi \) (đó là góc giữa mp(SBC) và mp(ABC), cũng là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp). Khi ấy
\(h = {{a\sqrt 3 } \over 6}\tan \varphi \;\;\;\;(2)\)
Thay (2) vào (1), ta có \(a = {{6r(\cos \varphi + 1)} \over {\sqrt 3 \sin \varphi }},\) từ đó thay vào (2), ta có \(h = {{r(\cos \varphi + 1)} \over {\cos \varphi }}\)
Suy ra \({a^2} = 12{r^2}{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }},\)
Vậy
\(\eqalign{ V& = {{\sqrt 3 } \over {12}}.12{r^2}.{{1 + \cos \varphi } \over {1 - \cos \varphi }}.r.{{1 + \cos \varphi } \over {\cos \varphi }} \cr & = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + \cos \varphi )}^2}} \over {{\rm{cos}}\varphi {\rm{(1 - cos}}\varphi {\rm{)}}}} = \sqrt 3 .{r^3}{{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}} \cr} \)
với \(0<t=cos\varphi <1\).
Xét hàm số \(f(t) = {{{{(1 + t)}^2}} \over {t(1 - t)}},0 < t < 1,\) thì V nhỏ nhất khi và chỉ khi f(t) nhỏ nhất.
Ta có:
\(\eqalign{
f'(t) &= {{2\left( {1 + t} \right)t\left( {1 - t} \right) - {{\left( {1 + t} \right)}^2}\left( {1 - 2t} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr
& = {{2\left( {t - {t^3}} \right) - \left( {1 - 3{t^2} - 2{t^3}} \right)} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr
& = {{3{t^2} + 2t - 1} \over {{t^2}{{\left( {1 - t} \right)}^2}}} \cr} \)
\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 3}.\)
Xét bảng biến thiên sau
Vậy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t = {1 \over 3}\), tức là \(\cos \varphi = {1 \over 3}.\)
Khi đó h=4r, \(\tan \varphi = 2\sqrt 2 ,\) từ đó \(a = 2r\sqrt 6 .\)
Vậy khi \(a = 2r\sqrt 6 \), \(h=4r\) thì diện tích toàn phần của hình chóp đạt giá trị nhỏ nhất.
