LG a
Trong mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức ω. Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho z′−ω=i(z−ω) là phép quay tâm A góc quay π2
Giải chi tiết:
M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’.
Khi M trùng với A tức là z=ω thì z′=ω nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì |→AM′|=|z′−ω|=|i||z−ω|=|z−ω|=|→AM| và một acgumen của z′−ωz−ω=i là số đo góc lượng giác (AM,AM') nên góc này là π2. Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay π2
LG b
Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số α,β,γ. Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ →NQ,→NP rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.
Giải chi tiết:
(h.4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay π2 nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có
q−γ+α2=i(γ−γ+α2)
Từ đó
q=12[(1+i)γ+(1−i)α]
Đổi α thành β, γ thành α, ta suy ra p biểu diễn bởi P là
p=12[(1+i)α+(1−i)β]
Vậy →NP biểu diễn số phức p−12(β+γ)=12[(1+i)α−iβ−γ] và →NQ biểu diễn số phức
q−12(β+γ)=12[(1−i)α−β+iγ]. Rõ ràng i,12[(1−i)α−β+iγ]=12[(1+i)α−iβ−γ], nên suy ra NQ=NP và →NQ,→NP vuông góc (h.4.15)
