LG a
Tìm cực đại các hệ số m, n, p sao cho hàm số
f(x)=−13x3+mx2+nx+p
Đạt cực đại tại điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đường thẳng y=3x−13 tại giao điểm của (C) với trục tung
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng y=3x−13 cắt trục tung tại điểm A(0;−13)
Vì đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A nên f(0)=p=−13
Ta có f′(x)=−x2+2mx+n.
Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng y=3x−13 tại điểm A nên f′(0)=n=3
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 nên f′(3)=−9+6m+3=0
⇔m=1.
Với các giá trị m, n, p vừa tìm được, ta có hàm số
f(x)=−13x3+x2+3x+13
Khi đó, f″ và f''(3) = - 4 < 0.
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của m, n, p
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: D = \mathbb{R}.
+) Chiều biến thiên:
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty
\begin{array}{l}y' = - {x^2} + 2x + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}
BBT:
Hàm số nghịch biến trên \left( { - \infty ; - 1} \right) và \left( {3; + \infty } \right).
Hàm số đồng biến trên \left( { - 1;3} \right).
Hàm số đạt cực đại tại x = 3,{y_{CD}} = \frac{{26}}{3}
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1,{y_{CT}} = - 2.
+) Đồ thị:
\begin{array}{l}y'' = - 2x + 2\\y'' = 0 \Leftrightarrow - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = \frac{{10}}{3}\end{array}
Điểm uốn I\left( {1;\frac{{10}}{3}} \right).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0; - \frac{1}{3}} \right).
Điểm cực đại \left( {3;\frac{{26}}{3}} \right) và điểm cực tiểu \left( { - 1; - 2} \right).
