Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
LG a
Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
Lời giải chi tiết:
Vì các cạnh của hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên
SA+BC = SB+AC = SC+AB
Mặt khác , tâm I của mặt cầu thuộc đường cao SH nên dễ thấy ^ISA=^ISB=^ISC, tức là ^HSB=^HSA=^HSC, từ đó SA=SB=SC.
Vậy AB = BC = CA, từ đó S.ABC là hình chóp đều.
LG b
Tính đường cao của hình chóp biết rằng IS=r√3.
Lời giải chi tiết:
Đặt SH = h.
Gọi M là trung điểm của BC thì mp(SAM) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này tiếp xúc với SA tại A1, đi qua điểm M và cắt AM tại M1, dễ thấy AM1 = M1H = HM.
Vì ΔSA1I∼ΔSHA nên A1ISI=AHSA,
Từ đó rr√3=AH√h2+AH2.
Từ AH = 2M1H suy ra
AH2=4M1H2=4(IM21−IH2).=4[r2−(h−r√3)2].
Vậy
1√3=2√r2−(h−r√3)2√h2+4[r2−(h−r√3)2]⇔9h2−16rh√3+16r2=0⇔h=4r√3(doh>IS>r).
