Trong không gian Oxyz cho tứ diện OABC với A(a ; 0 ; 0), ((0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c), a, b, c> 0.
LG 1
Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(A{B^2} = {a^2} + {b^2},B{C^2} = {b^2} + {c^2},C{A^2} = {c^2} + {a^2}\)
\( \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} - C{A^2} = 2{b^2} > 0 \)
\(\Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > C{A^2} \Rightarrow \) \(\widehat B\) nhọn.
Tương tự, ta suy ra các góc \(\widehat A,\widehat C\) nhọn.
LG 2
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tâm \(I({a \over 2};{b \over 2};{c \over 2}),\) bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)
LG 3
Kẻ OH vuông góc với mp(ABC), H \( \in \) mp(ABC). Tìm toạ độ điểm H theo a, b, c.
Lời giải chi tiết:
Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mp(ABC) có phương trình là
\(\left\{ \matrix{ x = {1 \over a}t \hfill \cr y = {1 \over b}t \hfill \cr z = {1 \over c}t. \hfill \cr} \right.\)
Suy ra tọc độ giao điểm H của đường thẳng d với mp(ABC) là
\(H = \left( {{{a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)
LG 4
Xác định toạ độ điểm O' đối xứng với điểm O qua mp(ABC).
Lời giải chi tiết:
Vì H là trung điểm của OO’ nên \(\overrightarrow {OO'} = 2\overrightarrow {OH} ,\) suy ra
\(O' = \left( {{{2a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)
LG 5
Kí hiệu \({\rm{S }} = {\rm{ }}{S_{ABC}},{\rm{ }}{S_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{OAB}},{\rm{ }}{S_2} = {\rm{ }}{S_{OBC}},{\rm{ }}{S_3} = {\rm{ }}{S_{OCA}}.\)
Chứng minh \({S^2} = {\rm{ }}S_1^2{\rm{ }} + {\rm{ }}S_2^2{\rm{ }} + S_3^2.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \({S_1} = {S_{OAB}} = {1 \over 2}ab,{S_2} = {S_{OBC}} = {1 \over 2}ab,\)
\({S_3} = {S_{OCA}} = {1 \over 2}ca.\)
\( \Rightarrow S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right).\)
Mặt khác, \({V_{OABC}} = d(O,(ABC)) = {{abc} \over {\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\)
Nên \({1 \over {36}}{a^2}{b^2}{c^2} = {1 \over 9}{S^2}.O{H^2}\)
\( \Rightarrow {S^2} = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2\) (đpcm).
LG 6
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
mp (OMN) \( \bot \) mp(OMP)\( \Leftrightarrow {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {{c^2}}}.\)
Lời giải chi tiết:
M là trung điểm của AB nên \(M = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right).\)
N là trung điểm của BC nên \(N = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {ON} = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right).\)
P là trung điểm của CA nên \(P = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OP} = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right).\)
Các mặt phẳng (OMN) và (OMP) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{n_{(OMN)}}} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {{{bc} \over 4};{{ - ac} \over 4};{{ab} \over 4}} \right), \cr & \overrightarrow {{n_{(OMP)}}} = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OP} } \right] = \left( {{{bc} \over 4}; - {{ac} \over 4}; - {{ab} \over 4}} \right). \cr} \)
Do đó \(mp(OMN) \bot mp(OMP) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(OMN)}}} .\overrightarrow {{n_{(OMP)}}} = 0\)
\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} \Leftrightarrow {1 \over {{c^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}}\) (đpcm).
LG 7
Chứng minh rằng với mọi điểm P trên mp(ABC), ta đều có :
\({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{H{P^2}} \over {H{O^2}}} + 2.\)
Lời giải chi tiết:
\(P({x_0};{y_0};{z_0}) \in mp(ABC) \Leftrightarrow {{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c} = 1.\)
\({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} = {{{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} = {{{x_0}^2 + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1 \)
\(= {{O{P^2}} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1.\)
Tương tự, \({{B{P^2}} \over {B{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{b^2}}} - {{2{y_0}} \over b} + 1,{{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{c^2}}} - {{2{z_0}} \over c} + 1\)
Suy ra
\(\eqalign{ & {{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}}\cr& = O{P^2}\left( {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \right)\cr&\;\;\;\;\; - 2\left( {{{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c}} \right) + 3 \cr & = O{P^2}.{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}{c^2}}} + 1 \cr & = {{O{P^2}} \over {O{H^2}}} + 1 = {{H{P^2} + O{H^2}} \over {O{H^2}}} + 1 \cr & = {{H{P^2}} \over {O{H^2}}} + 2(dpcm). \cr} \)
