Đề bài
Cho tứ diện đều ABCD, AA1 là một đường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm của AA1. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.
Lời giải chi tiết
Gọi N là trung điểm của BC và J là giao điểm của NI với AD, khi đó mp(BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện BCDJ và ABCJ.
Dễ thấy AJ=14AD.
Vì AA1⊥mp(BCD) nên mọi điểm thuộc AA1 cách đều B,C, D.
Khi đó, tâm O1 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là giao điểm của AA1 với đường trung trực của JD (xét trong mp(AA1D)).
Tương tự như trên, tâm O2 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là giao của với đường trung trực của AJ ( xét trong mp(ADD1))(DD1 là đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD).
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DJ và AJ. Xét tứ giác nội tiếp O1A1DE (hình 89b), ta có
AE.AD=AO1.AA1⇒AO1=AE.ADAA1.
Mặt khác
AA1=a√63,AE=a4+3a8=5a8.
Từ đó
AO1=5a.a8.a√63=5a√616.
Và do đó A1O1=A1A−AO1
=a√63−5a√616=a√648
Vậy bán kính R1 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là
R21=O1D2=A1O21+A1D2=6a2482+3a29=a248.8+a23=129.a248.8⇒R1=a√1298√6.
Từ giác O2D1FA nội tiếp đường tròn nên
DD1.DO2=DF.DA⇒DO2=DF.DADD1.
Mặt khác
DF=3a4+a8=7a8,DA=a,DD1=a√63, từ đó
DO2=7a8.aa√63=21a√68.6=7a√616.
Suy ra D1O2=7a√616−a√63=5a√648 và do đó, bán kính R2 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là
R22=O2A22=O2D21+D1A2
=25a2.6482+(a√33)2
=25a248.8+a23=153a248.8,
Từ đó R2=a√1538√6. Vậy R1R2=a√1298√6:a√1538√6=√4351.
