Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
LG a
Chứng minh rằng hàm số f(x)=tanx−x đồng biến trên nửa khoảng [0;π2)
Lời giải chi tiết:
Hàm số f liên tục tên nửa khoảng [0;π2) và có đạo hàm
f′(x)=1cos2x−1=tan2x>0 với mọi x∈(0;π2)
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0;π2)
LG b
Chứng minh rằng
tan−x>x+x33 với mọi x∈(0;π2)
Lời giải chi tiết:
Từ a) suy ra f(x)>0 với mọi x∈(0;π2), tức là
tanx>x với mọi x∈(0;π2)
Xét hàm số g(x)=tanx−x−x33 trên nửa khoảng [0;π2)
Hàm số liên tục trên [0;π2) và có đạo hàm
g′(x)=1cos2x−1−x2−tan2x−x2>0 với mọi x∈(0;π2)
(vì tanx>0 với mọi x∈(0;π2). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [0;π2) và g(x)>g(0)=0 với mọi x∈(0;π2). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
