Đề bài
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử đường thẳng MN cắt CD và BC lần lượt tại K và I.
Dễ thấy :
CK=32CD,CI=32CB,d(P,(ABC))=12d(S,(ABC)).
VP.CIK=13.12CI.CKsin^ICK .d(P,(ABC))
=13.12.32CB.32CDsin^BCD .12d(S,(ABC))
=916(13CB.CDsin^BCD .d(S,(ABC))
⇒VP.CIK=916VS.ABCD.
Ta có :
VI.BEMVI.CPK=IBIC.IEIP.IMIK=13.12.13=118⇒VI.BEM=118VI.CPK=118VP.CIK=132VS.ABCD.
Tương tự , ta cũng có VK.NDF=118VP.CIK=132VS.ABCD.
Vậy nếu gọi V2 là thể tích của phần khối chóp giới hạn bởi mp(MNP) với mặt phẳng đáy thì :
V2=VP.CIK−(VI.BEM+VK.NDF)=916VS.ABCD−(132VS.ABCD+132VS.ABCD)=916VS.ABCD−116VS.ABCD=12VS.ABCD.
Vậy phần còn lại, tức là phần của khối chóp nằm trên mp(MNP), có thể tích V1 cũng bằng 12VS.ABCD.
Do đó V1 = V2.
