Đề bài
Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
1+2i, 1+√3+i, 1+√3−i, 1−2i
Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào ?
Lời giải chi tiết
Vì mỗi cặp số 1+2i, 1−2i và 1+√3+i, 1+√3−i là cặp số phức liên hợp nên hai điểm A, D, hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân , do đó nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng Ox; J biểu diễn số thực x sao cho |→JA|=→|JB|⇔|1−x+2i|=|1−x+√3+i|. Từ đó suy ra x = 1.
(Cách khác : →AB biểu diễn số phức √3−i, →DB biểu diễn số phức √3+3i mà √3+3i√3−i=√3i nên →AB→.DB=0. Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox), →DC.→AC=0. Từ đó suy ra AD là một đường kính của đường tròn đi qua A, B, C, D . ( h.4.13)
