LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y = {x^4} + {x^2} - 3\)
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} + 2x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + 1 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\)
BBT:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = - 3\).
+) Đồ thị:
Trục đối xứng: \(Oy\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 3} \right)\), đi qua các điểm \(\left( {1; - 1} \right),\left( { - 1; - 1} \right)\)
LG b
Chứng minh rằng đường thẳng \(y = - 6x - 7\) tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\).
Lời giải chi tiết:
Với \(x = - 1\) ta có \(y\left( { - 1} \right) = - 1\).
\(y'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 2.\left( { - 1} \right) = - 6\)
Tiếp tuyến với đồ thị tại \(\left( { - 1; - 1} \right)\) là:
\(y = - 6\left( {x + 1} \right) - 1\) hay \(y = - 6x - 7\)
Vậy đường thẳng \(y = - 6x - 7\) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\) hay đường thẳng \(y = - 6x - 7\) tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) (đpcm)
