LG a
Cho phương trình x2+y2+z2−4mx+4y+2mz+m2+4m=0
Xác định m để nó là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta có a = -2m, b = 2, c = m, d=m2+4m.
Phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi
a2+b2+c2−d=(−2m)2+22+m2−m2−4m>0⇔(2m−1)2+3>0∀m.
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi m. Bán kính mặt cầu là :
R=√(2m−1)2+3≥√3⇒Rmin khi m = {1 \over 2}.
LG b
Cho phương trình:
{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x\cos \alpha - 2y\sin \alpha - 4z
- (4 + {\sin ^2}\alpha ) = 0
Xác định \alpha để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Khi đó, tìm \alpha để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
Ta có :a = \cos \alpha ,b = - \sin \alpha ,c = - 2,d = - (4 + {\sin ^2}\alpha )
\eqalign{ & {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \cr&= {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + 4 + 4 + {\sin ^2}\alpha \cr & = 9 + {\sin ^2}\alpha > 0\;\forall \alpha . \cr}
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi \alpha .
Khi đó R = \sqrt {9 + {{\sin }^2}\alpha }
Vì 0 \le {\sin ^2}\alpha \le 1 nên 3 \le R \le \sqrt {10}
Vậy {R_{\min }} = 3 khi \alpha = k\pi ,(k \in \mathbb Z).
{R_{\max }} = \sqrt {10} khi \alpha = {\pi \over 2} + l\pi (l \in \mathbb Z).
