Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\),trong đó \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng :
\(\left( \alpha \right):2x + y + 1 = 0\) và \(\left( \beta \right):x - y + z - 1 = 0.\)
\(\Delta '\) là giao tuyến của hai mặt phẳng :
\(\left( {\alpha '} \right):3x + y - z + 3 = 0\) và \(\left( {\beta '} \right):2x - y + 1 = 0.\)
LG a
Chứng minh \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau.
Lời giải chi tiết:
Giải hệ gồm phương trình các mặt phẳng xác định \(\Delta \) và \(\Delta '\), ta có một nghiệm duy nhất.
\(\left\{ \matrix{ x = - {1 \over 2} \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = {3 \over 2}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\Delta \) và \(\Delta '\) cắt nhau tại điểm \(I\left( { - {1 \over 2};0;{3 \over 2}} \right)\).
LG b
Viết phương trình chính tắc của các đường phân giác của các góc tạo bởi \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Lời giải chi tiết:
Ta chọn một điểm thuộc \(\Delta \), có thể lấy \(A = \left( {0; - 1;0} \right) \in \Delta .\)
Chọn một điểm thuộc \(\Delta '\), có thể lấy \(B = \left( {0;1;4} \right) \in \Delta '.\)
Khi đó, vectơ chỉ phương đơn vị của \(\Delta \) là \(\overrightarrow e = {{\overrightarrow {IA} } \over {\left| {\overrightarrow {IA} } \right|}}\).
vectơ chỉ phương đơn vị của \(\Delta '\) là \(\overrightarrow e = {{\overrightarrow {IB} } \over {\left| {\overrightarrow {IB} } \right|}}\).
Suy ra \(\overrightarrow {{e_1}} = \left( {{1 \over {\sqrt {14} }};{{ - 2} \over {\sqrt {14} }};{{ - 3} \over {\sqrt {14} }}} \right)\)
\(\overrightarrow {{e_2}} = \left( {{1 \over {\sqrt {30} }};{2 \over {\sqrt {30} }};{5 \over {\sqrt {30} }}} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} \),\(\overrightarrow {{e_1}} - \overrightarrow {{e_2}} \) là các vectơ chỉ phương của cặp đường phân giác của các góc tạo bởi \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Vậy phương trình chính tắc của cặp đường phân giác là :
\(\eqalign{ & \;\;\;\;\;{{x + {1 \over 2}} \over {{1 \over {\sqrt {14} }} + {1 \over {\sqrt {30} }}}} = {y \over {{{ - 2} \over {\sqrt {14} }} + {2 \over {\sqrt {30} }}}} = {{z - {3 \over 2}} \over {{{ - 3} \over {\sqrt {14} }} + {5 \over {\sqrt {30} }}}} \cr &\text{và}\cr& \;\;\;\;\;{{x + {1 \over 2}} \over {{1 \over {\sqrt {14} }} - {1 \over {\sqrt {30} }}}} = {y \over {{{ - 2} \over {\sqrt {14} }} - {2 \over {\sqrt {30} }}}} = {{z - {3 \over 2}} \over {{{ - 3} \over {\sqrt {14} }} - {5 \over {\sqrt {30} }}}} \cr} \)
