Trong không gian cho các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oỵ, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a(a>0),OB=a√2, OC=c(c>0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. (P) là mặt phẳng đi qua AM và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.
LG a
Gọi E là giao điểm của (P) với đường thẳng OC, tính độ dài đoạn thẳng OE.
Lời giải chi tiết:
(h.111)
Cách 1: Giả sử I là giao điểm của OD và AB, F là giao điểm củá mp(P) với CD. Khi đó dễ thấy ba đường thẳng EF, AM và CI đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC.
Đặt →OE=k.→OC.
Từ giả thiết GA ⊥ GE, ta có →GA.→GE=0.
Mặt khác →GA.→GE=(→OA−→OG).(→OE−→OG)
=[→OA−13(→OA+→OB+→OC)].
[k→OC−13(→OA+→OB+→OC)]
=−13→OA2+19→OA2+19→OB2+19→OC2−13k→OC2 (Vì →OA.→OB=→OB.→OC=→OC.→OA=0)
=−13a2+19a2+29a2+19c2−k3c2 (vì OA=a,OB=a√2,OC=c).
Vậy →GA.→GE=0⇔19c2−k3c2=0⇔k=13. Vậy OE=13c.
Cách 2. Chọn hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz như hình 111 thì
A=(a;0;0),B=(0;a√2;0),D=(a;a√2;0),
C=(0;0;c),M=(0;a√22;c2), Sử dụng giả thiết của bài toán, ta lập được phương trình của mặt phẳng (P) là c√2(x−a)−cy+3a√2z=0.
Giao điếm của (P) với trục Oz là E=(0;0;c3), suy ra OE=c3.
LG b
Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Vì →OE=13→OC , giao tuyến EF của (P) với (OCD) song song với OD nên →DF=13→DC . Ta có
VC.AEFVC.AOD=CECO.CFCD=23.23=49,VC.MEFVC.BOD=CMCB.CECO.CFCD=12.23.23=29.
Vậy VC.AEMF=(49+29)12VC.AOBD=13VC.AOBD, từ đó VC.AEMFVAEMFDBO=12.
LG c
Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Tứ giác lồi AEMF có các đường chéo AM, EF vuông góc nên có diện tích :
SAEMF=12AM.FE
=12√AO2+OJ2+JM2.23OD (J là trung điểm của OB)
=12√a2+a22+c24.23√a2+2a2=√36a√6a2+c2.
Vậy khoảng cách từ C đến mp(P) là
d(C,(P))=3VC.AEMFSAEMF=a2c√23√36a√6a2+c2=2ac√63√6a2+c2.
Cách 2. Sử dụng cách 2 của câu a), ta tính được khoảng cách từ điểm C(0;0;c) đến mp(P) có phương trình c√2(x−a)−cy+3a√2z=0 là
d(C,(P))=|−ac√2+3ac√2|√2c2+c2+18a2=2ac√63√c2+6a2.
