Đề bài
Cho hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ có các cạnh tương ứng bằng nhau : AB=A′B′,BC=B′C′,CD=C′D′,
DA=D′A′,DB=D′B′,AC=A′C′. Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm A′,B′,C′,D′.
Lời giải chi tiết
Giả sử có hai phép dời hình f1 và f2 đều biến các điểm A,B,C,D lần lượt thành các điểm A′,B′,C′,D′. Nếu f1 và f2 khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu M1=f(M),M2=f(M) thì M1và M2 là hai điểm phân biệt.
Khi đó, vì f1 và f2 đều là phép dời hình nên A′M1=AM,A′M2=AM, vậy A′M1=A′M2 tương tự B′M1=B′M2,C′M1=C′M2,D′M1=D′M2, do đó bốn điểm A′;B′;C′;D′ cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng M1M2, trái với giả thiết A′B′C′D′ là hình tứ diện.
Vậy với mọi điểm M, ta đều có f1(M)=f2(M), tức là hai phép dời hình f1 và f2 trùng nhau.
