LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y=x2−2x−3x−2
Lời giải chi tiết:
Ta có:
y=x2−2x−3x−2=x−3x−2
+) TXĐ: D=R∖{2}
+) Chiều biến thiên:
limx→2+y=−∞,limx→2−y=+∞ nên TCĐ x = 2.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0 nên TCX: y = x.
Ta có:
y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ;2} \right) và \left( {2; + \infty } \right) nên không có cực trị.
BBT:
+) Đồ thị:
LG b
Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng y = m – x cắt đường cong (C) tại hai điểm A và B.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = m - x\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = \left( {m - x} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = - {x^2} + mx + 2x - 2m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 2m - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}
Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm A, B nếu và chỉ nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8\left( {2m - 3} \right) > 0\\{2.2^2} - \left( {m + 4} \right).2 + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 40 > 0\,\,\,\left( {dung} \right)\\ - 3 \ne 0\,\,\,\left( {dung} \right)\end{array} \right.\end{array}
Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Với mọi m \in R, đường thẳng đã cho đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.
LG c
Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Lời giải chi tiết:
Với mọi m thì đường thẳng luôn cắt (C ) tại hai điểm A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right) với {x_1},{x_2} thỏa mãn (*).
Ta có:
\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{\frac{{m + 4}}{2}}}{2} = \frac{{m + 4}}{4}\\ \Rightarrow m + 4 = 4{x_M} \Rightarrow m = 4{x_M} - 4\\{y_M} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{m - {x_1} + m - {x_2}}}{2}\\ = \frac{{2m - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2} = \frac{{2m - \frac{{m + 4}}{2}}}{2}\\ = \frac{{3m - 4}}{4} = \frac{{3\left( {4{x_M} - 4} \right) - 4}}{4}\\ = \frac{{12{x_M} - 16}}{4} = 3{x_M} - 4\\ \Rightarrow {y_M} = 3{x_M} - 4\end{array}
Vậy, tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi là đường thẳng y = 3x – 4.
