LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\)
Lời giải chi tiết:
+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+) Chiều biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \)
\(\begin{array}{l}y' = - 4{x^3} + 4x\\y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = \pm 1,{y_{CD}} = 3\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\).
+) Đồ thị:
Trục đối xứng: \(Oy\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\).
Điểm cực tiểu \(\left( {0;2} \right)\) và điểm cực đại \(\left( { - 1;3} \right),\left( {1;3} \right)\).
LG b
Chứng minh rằng với mọi m < 2, phương trình
\( - {x^4} + 2{x^2} + 2 - m = 0\)
Có hai nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( - {x^4} + 2{x^2} + 2 - m = 0\) \( \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 2 = m\)
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng \(y = m\).
Với \(m < 2\), từ đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị tại đúng 2 điểm.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi \(m < 2\).
LG c
Từ đồ thị (C) của hàm số đã cho suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số
\(y = \left| { - {x^4} + 2{x^2} + 2} \right|\)
Lời giải chi tiết:
+) Giữ nguyên phần của (C) nằm phía trên trục hoành
+) Lấy đối xứng phần của (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành
Ta được đồ thị hàm số \(y = \left| { - {x^4} + 2{x^2} + 2} \right|\).
