Đề bài
Bốn đường thẳng Δ1,Δ2,Δ3,Δ4 đôi một song song và không có ba đường thẳng nào trên cùng một mặt phẳng. Một mặt phẳng (P) cắt chúng theo thứ tự tại A, B, C, D. Một mặt phẳng (P′) cắt chúng theo thứ tự A’, B’, C’, D’. Chứng minh hai khối tứ diện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi O=AC∩BD,O′=A′C′∩B′D′.
Do DD′//OO′ nên dễ thấy
d(D′,(ABC))d(O′,(ABC))=DD′OO′,d(D,(A′B′C′))d(O,(A′B′C′))=DD′OO′.
Vậy :
VD′.ABC=DD′OO′VO′.ABCVD.A′B′C′=DD′OO′VO.A′B′C′}(1)
Đặt h=d(BB′,(ACC′A′)).
Ta có h=d(B,(ACC′A′)) và
VO′.ABC=VB.O′AC=13h.SO′AC(2)VO.A′B′C′=VB′.OA′C′=13h.SOA′C′(3)
Đặt d=d(AA′,CC′) thì SO′AC=SOA′C′=12OO′.d(4)SO′AC=SAOO′+SCOO′=12OO′(d(A,OO′)+d(C.OO′))=12OO′.d
Tương tự SOA′C′=12OO′.d.
Từ (2), (3), (4) suy ra VO′.ABC=VO.A′B′C′(5)
Từ (1) và (5) ta suy ra VD′.ABC=VD.A′B′C′.
