Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng B1D và mặt phẳng (ABB1A1) bằng 300. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB1A1) bằng 32a. Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính của đáy hình trụ bằng 5a.
Lời giải chi tiết
Vì hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp hình trụ nên ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp chữ nhật, trục hình trụ là OO1 ( đoạn nối tâm hai đáy của hình hộp ) và khoảng cách từ OO1 đến mặt phẳng (ABB1A1) bằng nửa AD. Từ đó AD = 3a.
BD là đường kính của đường tròn đáy hình trụ nên BD = 5a, suy ra
AB2=BD2−AD2=16a2, tức là AB = 4a,
Dễ thấy ^DB1A là góc giữa B1D và mặt phẳng (ABB1A1), theo giả thiết thì ^DB1A = 300, từ đó B1D=2AD=6a.
Vậy BB21=B1D2−BD2
=36a2−25a2=11a2⇒BB1=a√11
Do đó thể tích hình hộp đã cho là:
V=AB.AD.BB1=4a.3a.a√11=12a3√11
Gọi O’ là trung điểm của OO1 thì O’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 và bán kính của mặt cầu đólà R=12B1D=3a.
Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là
V=43πR3=43π.27.a3=36πa3.
