Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
LG a
Đi qua ba điểm A(-1;2;3),B(2;-4;3), C(4;5;6).
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là :
\(\eqalign{ & \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]. \cr & \overrightarrow {AB} = (3; - 6;0),\overrightarrow {AC} = (5;3;3) \cr&\Rightarrow \overrightarrow n = \left( {\left| \matrix{ - 6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 3 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 3 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr & = ( - 18; - 9;39). \cr} \)
Hiển nhiên \({1 \over 3}\overrightarrow n = ( - 6; - 3;13)\) cũng là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm . Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(-1;2;3) với vec tơ pháp tuyến (-6;-3;13) nên có phương trình :
\(-6(x+1)-3(y-2)+13(z-3)=0\)
hay \(-6x-3y+13z-39=0.\)
Cách 2: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng :
Ax+By+Cz+D=0.
Vì ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng đó nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng và ta có hệ :
\(\left\{ \matrix{ - A + 2B + 3C + D = 0 \hfill \cr 2A - 4B + 3C + D = 0 \hfill \cr 4A + 5B + 6C + D = 0. \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ - 3A + 6B = 0 \hfill \cr 2A + 9B + 3C = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ A = 2B \hfill \cr B = - {3 \over {13}}C. \hfill \cr} \right.\)
Suy ra :\(A = 2B = - {6 \over {13}}C,D = A - 2B - 3C = - 3C.\)
Ta có thể chọn \(C=13\), khi đó \(A=-6, B=-3, D=-39\) và phương trình mặt phẳng cần tìm là
\(-6x-3y+13z-39=0.\)
LG b
Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng qua M0(1;3;-2), vuông góc với trục Oy nên nó song song với mp(Oxz).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(y=3\) (xem bài 35a).
Ta có thể giải cách khác như sau:
Mặt phẳng cần tìm là vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow j = (0;1;0)\) nên có phương trình :
\(0(x - 1) + 1.(y - 3) + 0(z + 2) = 0 \Leftrightarrow y - 3 = 0.\)
LG c
Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B=(0;2;-3), C=(1;-4;1).
Lời giải chi tiết:
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {BC} = (1; - 6;4)\),
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(1(x-1)-6(y-3)+4(z+2)=0\)
hay \(x-6y+4z+25=0.\)
LG d
Đi qua điểm M0(1;3;-2) và song song với mặt phẳng
2x-y+3z+4=0.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng : 2x-y+3z+4=0 nên phương trình có dạng
2x-y+3z+D=0 với \(D \ne 4\). Vì M0(1;3;-2) thuộc mặt phẳng đó nên \(2.1-3+3.(-2)+D=0 \Rightarrow D = 7.\)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(2x-y+3z+7=0.\)
Ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên nó có một vect ơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (2; - 1;3)\).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
\(2(x - 1) - 1(y - 3) + 3(z + 2) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0.\)
LG e
Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.
Lời giải chi tiết:
Véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 2;5)\) và \(\overrightarrow {n'} = (2; - 1;3)\) (\(\overrightarrow {n'} \) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-y+3z+4=0\)).
Vậy ta lấy \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| \matrix{ - 2 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 5 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 5 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ - 1 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ - 2 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right) \)
\(= ( - 1;13;5).\)
Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0\)
hay \(x-13y-5z+5=0.\)
LG g
Đi qua điểm M0(2;-1;2),song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.
Lời giải chi tiết:
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 là \(\overrightarrow {n'} = (2; - 1;3).\)
Vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng cần tìm là :
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr - 1 \hfill \cr} \right|} \right) \)
\(= (3;0; - 2).\)
Vậy phương trình của nó là :
\(3x-2z-2=0.\)
LG h
Đi qua điểm M0(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng
\(\eqalign{
& \left( \alpha \right):2x + y + 2z + 5 = 0 \cr
& \left( {\alpha '} \right):3x + 2y + z - 3 = 0 \cr} \)
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2;1;2),\overrightarrow {n{'_\alpha }} = (3;2;1).\)
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
\(-3(x+2)+4(y-3)+1(z-1)\)
hay \(3x-4y-z+19 = 0.\)
