Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
LG a
Đi qua ba điểm A(-1;2;3),B(2;-4;3), C(4;5;6).
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là :
→n=[→AB,→AC].→AB=(3;−6;0),→AC=(5;3;3)⇒→n=(|−6303|;|0335|;|35−63|)=(−18;−9;39).
Hiển nhiên 13→n=(−6;−3;13) cũng là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm . Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(-1;2;3) với vec tơ pháp tuyến (-6;-3;13) nên có phương trình :
−6(x+1)−3(y−2)+13(z−3)=0
hay −6x−3y+13z−39=0.
Cách 2: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng :
Ax+By+Cz+D=0.
Vì ba điểm A, B, C nằm trên mặt phẳng đó nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng và ta có hệ :
{−A+2B+3C+D=02A−4B+3C+D=04A+5B+6C+D=0.
⇒{−3A+6B=02A+9B+3C=0⇒{A=2BB=−313C.
Suy ra :A=2B=−613C,D=A−2B−3C=−3C.
Ta có thể chọn C=13, khi đó A=−6,B=−3,D=−39 và phương trình mặt phẳng cần tìm là
−6x−3y+13z−39=0.
LG b
Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với trục Oy.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng qua M0(1;3;-2), vuông góc với trục Oy nên nó song song với mp(Oxz).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là y=3 (xem bài 35a).
Ta có thể giải cách khác như sau:
Mặt phẳng cần tìm là vec tơ pháp tuyến →n=→j=(0;1;0) nên có phương trình :
0(x−1)+1.(y−3)+0(z+2)=0⇔y−3=0.
LG c
Đi qua điểm M0(1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng BC với B=(0;2;-3), C=(1;-4;1).
Lời giải chi tiết:
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là →n=→BC=(1;−6;4),
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
1(x−1)−6(y−3)+4(z+2)=0
hay x−6y+4z+25=0.
LG d
Đi qua điểm M0(1;3;-2) và song song với mặt phẳng
2x-y+3z+4=0.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng : 2x-y+3z+4=0 nên phương trình có dạng
2x-y+3z+D=0 với D≠4. Vì M0(1;3;-2) thuộc mặt phẳng đó nên 2.1−3+3.(−2)+D=0⇒D=7.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x−y+3z+7=0.
Ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 nên nó có một vect ơ pháp tuyến là →n=(2;−1;3).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là
2(x−1)−1(y−3)+3(z+2)=0
⇔2x−y+3z+7=0.
LG e
Đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.
Lời giải chi tiết:
Véc tơ pháp tuyến →n của mặt phẳng cần tìm vuông góc với hai vec tơ →AB=(−1;−2;5) và →n′=(2;−1;3) (→n′ là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x−y+3z+4=0).
Vậy ta lấy →n=[→AB,→n′]=(|−2−153|;|53−12|;|−12−2−1|)
=(−1;13;5).
Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là:
−1(x−3)+13(y−1)+5(z+1)=0
hay x−13y−5z+5=0.
LG g
Đi qua điểm M0(2;-1;2),song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z+4=0.
Lời giải chi tiết:
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x-y+3z+4=0 là →n′=(2;−1;3).
Vec tơ pháp tuyến →n của mặt phẳng cần tìm là :
→n=[→j,→n′]=(|1−103|;|0302|;|021−1|)
=(3;0;−2).
Vậy phương trình của nó là :
3x−2z−2=0.
LG h
Đi qua điểm M0(-2;3;1) và vuông góc với hai mặt phẳng
(α):2x+y+2z+5=0(α′):3x+2y+z−3=0
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (α) và (α′) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là →nα=(2;1;2),→n′α=(3;2;1).
Mặt phẳng cần tìm vuông góc với (α) và (α′) nên có vec tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
−3(x+2)+4(y−3)+1(z−1)
hay 3x−4y−z+19=0.
