Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu
(S) :x2 + y2 +z2 - 10x + 2y + 26z - 113= 0
Và hai đường thẳng:
d: \({{x + 5} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}} = {{z + 13} \over 2};\)
d’:\(\left\{ \matrix{ x = - 7 + 3t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 8 \hfill \cr} \right.\)
LG a
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d.
Lời giải chi tiết:
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)
Mặt phẳng (P) vuông góc với d, do đó có dạng :
\(\left( P \right):2x - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + D = {\rm{ }}0.\)
Mặt cầu (S) có tâm \(I = {\rm{ }}\left( {5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 13} \right)\) và bán kính R =\(\sqrt {308} \), vì vậy (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {308} \)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| {10 + 3 - 26 + D} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 4} }} = \sqrt {308} \cr & \Leftrightarrow \left| {D - 13} \right| = \sqrt {17.308} \Rightarrow D = 13 \pm \sqrt {5236} . \cr} \)
Tóm lại, có hai mp(P) thoả mãn yêu cầu đầu bài là
\(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}13{\rm{ }} \pm {\rm{ }}\sqrt {5236} {\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d, d' .
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)
Vectơ chỉ phương của d' là \(\overrightarrow {u'} = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right).\)
Vì vậy phương trình của mp(Q) có dạng : \(4x + 6y + 5z + D = 0.\)
Để (Q) tiếp xúc với (S), điều kiện là :
\(d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \sqrt {308} \Leftrightarrow {{\left| {20 - 6 - 65 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 36 + 25} }} = \sqrt {308} \)
\( \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = \sqrt {23716} = 154 \Rightarrow \left[ \matrix{ D = - 103 \hfill \cr D = 205. \hfill \cr} \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng (Q) cần tìm :
\(\eqalign{ & 4x + 6y + 5z - 103 = 0, \cr & 4x + 6y + 5z + 205 = 0. \cr} \)
