Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu
(S) :x2 + y2 +z2 - 10x + 2y + 26z - 113= 0
Và hai đường thẳng:
d: x+52=y−1−3=z+132;
d’:{x=−7+3ty=−1−2tz=8
LG a
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d.
Lời giải chi tiết:
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là →u=(2;−3;2).
Mặt phẳng (P) vuông góc với d, do đó có dạng :
(P):2x−3y+2z+D=0.
Mặt cầu (S) có tâm I=(5;−1;−13) và bán kính R =√308, vì vậy (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi d(I,(P))=√308
⇔|10+3−26+D|√4+9+4=√308⇔|D−13|=√17.308⇒D=13±√5236.
Tóm lại, có hai mp(P) thoả mãn yêu cầu đầu bài là
2x−3y+2z+13±√5236=0.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d, d' .
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của d là →u=(2;−3;2).
Vectơ chỉ phương của d' là →u′=(3;−2;0).
Mặt phẳng (Q) cần tìm có vectơ pháp tuyến →n=[→u,→u′]=(4;6;5).
Vì vậy phương trình của mp(Q) có dạng : 4x+6y+5z+D=0.
Để (Q) tiếp xúc với (S), điều kiện là :
d(I,(Q))=√308⇔|20−6−65+D|√16+36+25=√308
⇔|D−5|=√23716=154⇒[D=−103D=205.
Vậy có hai mặt phẳng (Q) cần tìm :
4x+6y+5z−103=0,4x+6y+5z+205=0.
