Đề bài
Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10.
Diện tích tam giác là S=12xy(cm2)
Ta có x2+y2=100
S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x2y2=x2(100−x2) đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán quy về: Tìm x∈(0;10) sao cho tại đó hàm số z=x2(100−x2),x∈(0;10) đạt giá trị lớn nhất.
z′=2x(100−x2)+x2(−2x)=−4x3+200xz′=0⇔−4x3+200x=0⇔−4x(x2−50)=0⇔[x=0∉(0;10)x=5√2∈(0;10)x=−5√2∉(0;10)
Do đó hàm số đạt GTLN tại x=5√2. Khi đó y=5√2.
Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất.
Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là x=y=5√2 (cm).
