Đề bài
Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi x, y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 10 cm, 0 < x < 10 và 0 < y < 10.
Diện tích tam giác là \(S = {1 \over 2}xy(c{m^2})\)
Ta có \({x^2} + {y^2} = 100\)
S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({x^2}{y^2} = {x^2}(100 - {x^2})\) đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán quy về: Tìm \(x \in \left( {0;10} \right)\) sao cho tại đó hàm số \(z = {x^2}(100 - {x^2}),x \in \left( {0;10} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
\(\begin{array}{l}
z' = 2x\left( {100 - {x^2}} \right) + {x^2}\left( { - 2x} \right)\\
= - 4{x^3} + 200x\\
z' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 200x = 0\\
\Leftrightarrow - 4x\left( {{x^2} - 50} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \notin \left( {0;10} \right)\\
x = 5\sqrt 2 \in \left( {0;10} \right)\\
x = - 5\sqrt 2 \notin \left( {0;10} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó hàm số đạt GTLN tại \(x = 5\sqrt 2\). Khi đó \( y = 5\sqrt 2 \).
Trong các tam giác vuông đó, tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất.
Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là \(x = y = 5\sqrt 2 \) (cm).
