Đề bài
Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số
\(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)
Đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = - 3\) và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) thì \(f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 + 2a + b = 0\).
\(f\left( 1 \right) = - 3 \Leftrightarrow 1 + a + b + c = - 3\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại \(\left( {0;2} \right)\) nên \(2 = c\) hay \(c = 2\).
Ta có hệ:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3 + 2a + b = 0\\1 + a + b + c = - 3\\c = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 3\\a + b = - 6\\c = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 9\\c = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Thử lại, với \(a = 3,b = - 9,c = 2\) ta có:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 9\)
\(f''\left( x \right) = 6x + 6\)
Ta thấy, \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f''\left( 1 \right) = 12 > 0\end{array} \right.\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn).
Vậy a = 3; b = -9; c = 2.
