Cho bốn điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4),C(5;-1;0), D(1;2;1).
LG a
Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {BA} = (5;0;10),\)
\(\overrightarrow {CA} = ( - 3;0;6),\)
\(\overrightarrow {CB} = ( - 8;0; - 4).\)
Do \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 24 - 24 = 0\) nên ABC là tam giác vuông tại C.
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}CA.CB = {1 \over 2}.3\sqrt 5 .4\sqrt 5 = 30.\)
Ta lại có \(p = {1 \over 2}(AB + BC + CA) \)
\(= {1 \over 2}(5\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 4\sqrt 5 ) = 6\sqrt 5 .\)
Mặt khác S = p.r, suy ra \(r = {S \over p} = {{30} \over {6\sqrt 5 }} = \sqrt 5 .\)
LG b
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{ & \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 0 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 10 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 10 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 5 \hfill \cr 8 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 5 \hfill \cr 8 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 0 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right|} \right)\cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= (0;60;0), \cr & \overrightarrow {BD} = (4;3;5) \cr & \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right].\overrightarrow {BD} } \right|\cr& \;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}\left| {0.4 + 60.3 + 0.5} \right| = 30 \cr} \)
LG c
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Từ điều kiện \(I{A^2} = I{B^2},I{A^2} = I{C^2},I{A^2} = I{D^2}\), ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ - 10x = 20z + 15 = 0 \hfill \cr 6x - 12z + 15 = 0 \hfill \cr - 2x + 6y - 10z + 35 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - {1 \over 2} \hfill \cr y = - {{13} \over 3} \hfill \cr z = 1. \hfill \cr} \right.\)
Vậy mặt cầu cần tìm có tâm \(I\left( { - {1 \over 2}; - {{13} \over 3};1} \right)\) và bán kính là
\(\eqalign{ & R = IC \cr&= \sqrt {{{\left( {5 + {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + {{13} \over 3}} \right)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} \cr & = \sqrt {{{121} \over 4} + {{100} \over 9} + 1} = \sqrt {{{1525} \over {36}}.} \cr} \)
Do đó phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
\({\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {y + {{13} \over 3}} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {{1525} \over {36}}.\)
