Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, trục là OO'. Gọi MN là dây cung thay đổi của đường tròn tâm O sao cho MN = R. Kí hiệu N' là hình chiếu của N trên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O'. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của OO' và MN.
LG 1
Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của OO' và MN' và độ dài IJ không đổi.
Lời giải chi tiết:
Hai tam giác vuông OO'N' và O'OM có OO' chung và O'N' = OM nên chúng bằng nhau, từ đó IM = IN'. Mặt khác JM = JN' nên IJ ⊥MN'.
Cũng dễ thấy các tam giác OMN' và O'N'M bằng nhau, từ đó OJ = OJ'; mặt khác IO = IO' nên IJ ⊥ OO'.
Vậy IJ là đường vuông góc chung của OO' và MN'.
Goi K là trung điểm của MN thì OK=R√32 và IJ=OK, tức là độ dài IJ không đổi.
LG 2
Chứng minh rằng mp(MNN') luôn tiếp xúc với một mặt trụ T cố định (tức giao của chúng là một đường sinh của T.
Lời giải chi tiết:
Từ IJ = R√32 và IJ ⊥ OO' suy ra điểm J thuộc mặt trụ có trục là OO' và bán kính mặt trụ bằng R√32.
Mặt khác từ IJ ⊥ MN', IJ ⊥ OO' suy ra
IJ ⊥ mp(MNN'), tức là mp(MNN') tiếp xúc với mặt trụ cố định có trục là OO', bán kính R√32.
